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  <title>数值分析笔记 | Hexo</title>
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  <meta name="description" content="数值分析笔记一、误差概述1、绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字（有效数）的定义及相互关系；2、四则运算与函数值的误差估计；3、秦九韶算法。1-1课程起源  历史沿革 数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。 各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。 直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发">
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        <section id="main"><article id="post-数值分析笔记" class="h-entry article article-type-post" itemprop="blogPost" itemscope itemtype="https://schema.org/BlogPosting">
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    <a href="/notes-on-computer-expertise/2022/01/02/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E6%9E%90%E7%AC%94%E8%AE%B0/" class="article-date">
  <time class="dt-published" datetime="2022-01-02T15:39:46.000Z" itemprop="datePublished">2022-01-02</time>
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      数值分析笔记
    </h1>
  

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        <h1 id="数值分析笔记"><a href="#数值分析笔记" class="headerlink" title="数值分析笔记"></a>数值分析笔记</h1><h2 id="一、误差"><a href="#一、误差" class="headerlink" title="一、误差"></a>一、误差</h2><h3 id="概述"><a href="#概述" class="headerlink" title="概述"></a>概述</h3><h4 id="1、绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字（有效数）的定义及相互关系；"><a href="#1、绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字（有效数）的定义及相互关系；" class="headerlink" title="1、绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字（有效数）的定义及相互关系；"></a>1、绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字（有效数）的定义及相互关系；</h4><h4 id="2、四则运算与函数值的误差估计；"><a href="#2、四则运算与函数值的误差估计；" class="headerlink" title="2、四则运算与函数值的误差估计；"></a>2、四则运算与函数值的误差估计；</h4><h4 id="3、秦九韶算法。"><a href="#3、秦九韶算法。" class="headerlink" title="3、秦九韶算法。"></a>3、秦九韶算法。</h4><h3 id="1-1课程起源"><a href="#1-1课程起源" class="headerlink" title="1-1课程起源"></a>1-1课程起源</h3><ul>
<li><ol>
<li>历史沿革<ul>
<li>数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。</li>
<li>各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。</li>
<li>直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>计算方法的形成<ul>
<li>① 20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报</li>
<li>② 计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。</li>
<li>③ 以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>作用与意义<ul>
<li>科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。<h3 id="1-2-计算机数值方法的研究对象"><a href="#1-2-计算机数值方法的研究对象" class="headerlink" title="1-2 计算机数值方法的研究对象"></a>1-2 计算机数值方法的研究对象</h3></li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>研究问题<ul>
<li>利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下：实际问题 → 构造数学模型 → 设计数值计算方法→程序设计 → 上机求出结果 → 回到实际问题。</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li>数学模型举例：<ul>
<li>例1-1  鸡兔同笼：(共10只，34只脚)导致方程组；</li>
<li>例1-2  追线（弹道轨迹）在Ox轴上有一点P以常速a沿着正方向移动；在平面上另有一点M，它以常速v移动，方向永远指向动点P，求M点的轨迹。导致微分方程</li>
<li>例1-3  曲边梯形的面积</li>
<li><img src="数值分析笔记/image/image-20220115222944261.png" alt="image-20220115222944261"></li>
</ul>
</li>
<li><ol>
<li>课程的任务<ul>
<li>本课程的任务是：</li>
<li>① 将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。</li>
<li><script type="math/tex; mode=display">
e^x\approx1+x+\frac{x^2}{x} +……+\frac{x^n}{n!}\\
y'(x)\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}</script><h3 id="1-3-课程特点及学习目的"><a href="#1-3-课程特点及学习目的" class="headerlink" title="1-3 课程特点及学习目的"></a>1-3 课程特点及学习目的</h3></li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>主要特点<ul>
<li>本课程的特点是涉及数学中的多个分支，如微积分学、微分方程，代数中的解非线性方程、方程组等。既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数学知识，以及计算机的基本操作）</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>学习目的<ul>
<li>本课程不仅在解决工程的计算问题上，在一些大型计算、高层次的计算机系统设计上都有着十分重要的意义。因此，本课程也是计算数学专业的必修课。</li>
<li>① 学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。</li>
<li>② 初步掌握一种软件包：Matlab, Mathematic等的使用方法。<h3 id="1-4-参考书目"><a href="#1-4-参考书目" class="headerlink" title="1-4 参考书目"></a>1-4 参考书目</h3></li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li>参考书目：<ul>
<li>①《数值方法》：易大义等，浙江科技出版社</li>
<li>②《计算方法》：武汉大学，高等教育出版社</li>
<li>③《数值计算方法》：李有法，高等教育出版社</li>
<li>④《数值分析》：李庆扬，王能超，易大义。</li>
<li>⑤《计算方法引论》：徐萃薇。</li>
<li>④《数值分析引论》：易大义，陈道琦。<h3 id="2-1-数学模型与数值问题"><a href="#2-1-数学模型与数值问题" class="headerlink" title="2-1  数学模型与数值问题"></a>2-1  数学模型与数值问题</h3></li>
</ul>
</li>
<li><ol>
<li>数学模型<ul>
<li>实际问题经抽象、简化而产生的一组解析表达式或原始数据。</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
<li><ol>
<li>数值问题<ul>
<li>输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。</li>
<li>例如：求二次方程的根，可算作一个数值问题</li>
</ul>
</li>
</ol>
</li>
</ul>
<h2 id="二、插值"><a href="#二、插值" class="headerlink" title="二、插值"></a>二、插值</h2><h3 id="1、Lagrange插值多项式的构造与插值余项估计，-Lagrange插值基函数的定义及性质；"><a href="#1、Lagrange插值多项式的构造与插值余项估计，-Lagrange插值基函数的定义及性质；" class="headerlink" title="1、Lagrange插值多项式的构造与插值余项估计， Lagrange插值基函数的定义及性质；"></a>1、Lagrange插值多项式的构造与插值余项估计， Lagrange插值基函数的定义及性质；</h3><h3 id="2、Newton插值多项式的构造与插值余项估计，差商的定义及性质（差商表的构造，差商与导数的关系）；"><a href="#2、Newton插值多项式的构造与插值余项估计，差商的定义及性质（差商表的构造，差商与导数的关系）；" class="headerlink" title="2、Newton插值多项式的构造与插值余项估计，差商的定义及性质（差商表的构造，差商与导数的关系）；"></a>2、Newton插值多项式的构造与插值余项估计，差商的定义及性质（差商表的构造，差商与导数的关系）；</h3><h3 id="3、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，重节点差商表的构造"><a href="#3、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，重节点差商表的构造" class="headerlink" title="3、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，重节点差商表的构造"></a>3、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，重节点差商表的构造</h3><h2 id="三、函数逼近"><a href="#三、函数逼近" class="headerlink" title="三、函数逼近"></a>三、函数逼近</h2><h3 id="1、C-a-b-上函数f-x-的n次最佳一致逼近多项式的构造与最佳逼近（误差）的估计；（利用切比雪夫多项式进行多项式的降阶）"><a href="#1、C-a-b-上函数f-x-的n次最佳一致逼近多项式的构造与最佳逼近（误差）的估计；（利用切比雪夫多项式进行多项式的降阶）" class="headerlink" title="1、C[a,b]上函数f(x)的n次最佳一致逼近多项式的构造与最佳逼近（误差）的估计；（利用切比雪夫多项式进行多项式的降阶）"></a>1、C[a,b]上函数f(x)的n次最佳一致逼近多项式的构造与最佳逼近（误差）的估计；（利用切比雪夫多项式进行多项式的降阶）</h3><ul>
<li>例如<script type="math/tex; mode=display">
\text{求5次多项式}f(x)=4x^5+3x^3+1\text {在区间[0,2]上的3次最佳一致逼近多项式并估计误差（最佳逼近值、最小偏差）。}</script><h3 id="2、C-a-b-上函数f-x-的n次最佳平方逼近多项式的构造与平（均）方误差的估计；（按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式）"><a href="#2、C-a-b-上函数f-x-的n次最佳平方逼近多项式的构造与平（均）方误差的估计；（按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式）" class="headerlink" title="2、C[a,b]上函数f(x)的n次最佳平方逼近多项式的构造与平（均）方误差的估计；（按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式）"></a>2、C[a,b]上函数f(x)的n次最佳平方逼近多项式的构造与平（均）方误差的估计；（按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式）</h3><script type="math/tex; mode=display">
\text{求5次多项式}f(x)=4x^5+3x^3+1\text {在区间[0,2]上的3次最佳平方逼近多项式并估计平（均）方误差}</script><h3 id="3、最小二乘拟合函数的计算；（求拟合给定数据点的函数）"><a href="#3、最小二乘拟合函数的计算；（求拟合给定数据点的函数）" class="headerlink" title="3、最小二乘拟合函数的计算；（求拟合给定数据点的函数）"></a>3、最小二乘拟合函数的计算；（求拟合给定数据点的函数）</h3><h2 id="四、数值积分"><a href="#四、数值积分" class="headerlink" title="四、数值积分"></a>四、数值积分</h2><h3 id="1、代数精度的定义（数值求积公式的构造及代数精度的判别）"><a href="#1、代数精度的定义（数值求积公式的构造及代数精度的判别）" class="headerlink" title="1、代数精度的定义（数值求积公式的构造及代数精度的判别）"></a>1、代数精度的定义（数值求积公式的构造及代数精度的判别）</h3></li>
<li>例如<script type="math/tex; mode=display">
\text{求积公式}\int f(x)dx\approx=A_0f(0)+A_1f(x_1)+A_2f(1)\\ 
\text {试确定求积系数}A_0,A_1,A_2\text {与求积节点}X_1\text {使求积公式的代数精度尽可能高，}\\ 
\text {并指出求积公式的代数精度。}</script><h3 id="2、Newton-Cotes求积公式"><a href="#2、Newton-Cotes求积公式" class="headerlink" title="2、Newton-Cotes求积公式"></a>2、Newton-Cotes求积公式</h3><h4 id="（1）梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"><a href="#（1）梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；" class="headerlink" title="（1）梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"></a>（1）梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；</h4><h4 id="（2）simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"><a href="#（2）simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；" class="headerlink" title="（2）simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"></a>（2）simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；</h4><h3 id="3、复化求积公式"><a href="#3、复化求积公式" class="headerlink" title="3、复化求积公式"></a>3、复化求积公式</h3><h4 id="（1）复化梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"><a href="#（1）复化梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；" class="headerlink" title="（1）复化梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"></a>（1）复化梯形公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；</h4><h4 id="（2）复化simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"><a href="#（2）复化simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；" class="headerlink" title="（2）复化simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；"></a>（2）复化simpson公式及其截断误差表达式（推导，代数精度）；</h4><h3 id="4、Gauss型求积公式（定义，代数精度）"><a href="#4、Gauss型求积公式（定义，代数精度）" class="headerlink" title="4、Gauss型求积公式（定义，代数精度）"></a>4、Gauss型求积公式（定义，代数精度）</h3><h2 id="五、矩阵分析基础"><a href="#五、矩阵分析基础" class="headerlink" title="五、矩阵分析基础"></a>五、矩阵分析基础</h2><h3 id="1．向量范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；"><a href="#1．向量范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；" class="headerlink" title="1．向量范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；"></a>1．向量范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；</h3><h3 id="2．矩阵范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；"><a href="#2．矩阵范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；" class="headerlink" title="2．矩阵范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；"></a>2．矩阵范数的定义与计算（1-范数，2-范数，∞—范数）；</h3><h2 id="六、线性方程组的直接法"><a href="#六、线性方程组的直接法" class="headerlink" title="六、线性方程组的直接法"></a>六、线性方程组的直接法</h2><h3 id="1-列主元Gauss消去法；"><a href="#1-列主元Gauss消去法；" class="headerlink" title="1.列主元Gauss消去法；"></a>1.列主元Gauss消去法；</h3><h3 id="2-Doolittle三角分解与列主元Doolittle三角分解法；"><a href="#2-Doolittle三角分解与列主元Doolittle三角分解法；" class="headerlink" title="2.Doolittle三角分解与列主元Doolittle三角分解法；"></a>2.Doolittle三角分解与列主元Doolittle三角分解法；</h3><h3 id="3-紧凑格式的列主元Doolittle三角分解法；"><a href="#3-紧凑格式的列主元Doolittle三角分解法；" class="headerlink" title="3.紧凑格式的列主元Doolittle三角分解法；"></a>3.紧凑格式的列主元Doolittle三角分解法；</h3><h3 id="4-求对称正定方程组的平方根法；"><a href="#4-求对称正定方程组的平方根法；" class="headerlink" title="4.求对称正定方程组的平方根法；"></a>4.求对称正定方程组的平方根法；</h3><h2 id="七、线性方程组的迭代法"><a href="#七、线性方程组的迭代法" class="headerlink" title="七、线性方程组的迭代法"></a>七、线性方程组的迭代法</h2><h3 id="1、Jacobi迭代格式的构造与收敛性判别；"><a href="#1、Jacobi迭代格式的构造与收敛性判别；" class="headerlink" title="1、Jacobi迭代格式的构造与收敛性判别；"></a>1、Jacobi迭代格式的构造与收敛性判别；</h3><h3 id="2、Gauss-Seidel迭代格式的构造与收敛性判别；"><a href="#2、Gauss-Seidel迭代格式的构造与收敛性判别；" class="headerlink" title="2、Gauss-Seidel迭代格式的构造与收敛性判别；"></a>2、Gauss-Seidel迭代格式的构造与收敛性判别；</h3><h2 id="八、非线性方程的根"><a href="#八、非线性方程的根" class="headerlink" title="八、非线性方程的根"></a>八、非线性方程的根</h2><h3 id="1、简单迭代格式的构造以及收敛性与收敛阶的判别"><a href="#1、简单迭代格式的构造以及收敛性与收敛阶的判别" class="headerlink" title="1、简单迭代格式的构造以及收敛性与收敛阶的判别"></a>1、简单迭代格式的构造以及收敛性与收敛阶的判别</h3><h3 id="2、Newton迭代格式的构造与收敛阶的判别；"><a href="#2、Newton迭代格式的构造与收敛阶的判别；" class="headerlink" title="2、Newton迭代格式的构造与收敛阶的判别；"></a>2、Newton迭代格式的构造与收敛阶的判别；</h3><h2 id="九、常微分方程（初值问题）的数值解"><a href="#九、常微分方程（初值问题）的数值解" class="headerlink" title="九、常微分方程（初值问题）的数值解"></a>九、常微分方程（初值问题）的数值解</h2><h3 id="1、欧拉与改进欧拉公式的迭代格式及局部截断误差分析；"><a href="#1、欧拉与改进欧拉公式的迭代格式及局部截断误差分析；" class="headerlink" title="1、欧拉与改进欧拉公式的迭代格式及局部截断误差分析；"></a>1、欧拉与改进欧拉公式的迭代格式及局部截断误差分析；</h3><h3 id="2、龙格-库塔公式的迭代格式及局部截断误差分析；"><a href="#2、龙格-库塔公式的迭代格式及局部截断误差分析；" class="headerlink" title="2、龙格-库塔公式的迭代格式及局部截断误差分析；"></a>2、龙格-库塔公式的迭代格式及局部截断误差分析；</h3></li>
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